Sistema de Ecuaciones a través del método de sustitución

Método por Sustitución: Consiste en despejar una incógnita de alguna de las ecuaciones para luego sustituirla en la segunda, de esta manera obtendremos una ecuación de una sola incógnita la cual al resolverla nos permite obtener el valor de la incógnita, la cual sustituiremos en alguna de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la segunda incógnita.

   Consideremos el sistema:

2x − y  = 1

x + y     = 2

Actividad Practica:  Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones. Use el método de Sustitución.

Sistema de Ecuaciones a través del método de igualación

Método por Igualación: Consiste en despejar la misma incógnita de ambas ecuaciones, luego igualar los resultados para al resolver la ecuación encontrar el valor de una incógnita que será reemplazada en una de las originales para obtener el valor de la segunda incógnita.

Consideremos el sistema:

2x − y  = 1

x + y     = 2

De la primera ecuación despejemos y:

2x – y	=	1
2x 2x – 1	= =       y	1+ y

 Ahora de la segunda ecuación despejemos la misma variable:

x + y     = 2

y             = 2 − x

Luego, como y de la primera ecuación debe ser el mismo que el de la segunda se tiene que:

y             = y

2x − 1   = 2 − x

2x + x =2 + 1

3x = 3

x   = 3: 3

x   = 1

Así, obteniendo una simple ecuación de primer grado logramos obtener la solución para x, para encontrar el valor de y solo debemos reemplazar x = 1 en cualquiera de las ecuaciones originales:

2x – y	=	1
2 · (1) – y	=	1
2 · 1 − 1	=	y
2 − 1	=	y
y	=	1

Actividad practica: Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones. Use el método de Igualación.

Problemas de Aplicación que requieren el uso de Ecuaciones de primer grado.

Para resolver problemas a través de ecuaciones de primer grado, debemos de seguir los siguientes pasos:

1- Identificar los datos del problema

2-Plantear la ecuación

3- Resolver la ecuación, despejando la incógnita.

4- Resolver la pregunta

Ejemplo:

Actividad Practica:     Resuelva planteado la ecuación de primer grado.

1.       Un número disminuido en 304 es igual a 100 ¿Cuál es el número?

2.       Compre un cierto número de lápices a 250 cada uno, y gaste 7500 ¿Cuántos lápices compré?

3.       La edad de María es el doble de la Bastián. Las dos edades suman 36. ¿Cuál es la edad de Bastián?

4.    La suma de tres números consecutivos es 204, ¿cuáles son los números?

5.    1 coche, 1 caballo y arreos, x$35.000.000 El coche es el 3 de los arreos, y el caballo el doble del coche. ¿Cuánto vale el caballo?

6.    La edad de Enrique es la mitad de Pedro, la de Juan es 3 de la de Enrique y la de Eugenio es el doble de la de Juan. Todas suman 132. ¿Cuál es la edad de Juan?

7.    María reparte 300.000 entre Almendra, verónica y Camilo. La de Verónica sea el 2 de Almendra y la de Camilo el 3 de Almendra. ¿Cuánto gana cada uno?

Ecuaciones de Primer Grado Fraccionarias.

Resolución de Ecuaciones Fraccionarias de Primer Grado

Para resolver una ecuación fraccionaria de primer grado:

1º        Si en los numeradores hay binomios o polinomios, debemos encerrarlos en paréntesis para evitar errores con los signos negativos. El signo menos que aparece antes de una fracción afecta a todo el numerador.

2º        Buscamos el mínimo común múltiplo de los denominadores.

3º        Multiplicamos cada término de la ecuación por el m.c.m. encontrado.

4º        Simplificamos los denominadores de los términos fraccionarios con el m.c.m.

5º        Resolvemos los paréntesis efectuando las operaciones indicadas.

6º        Continuamos resolviendo la ecuación con los números enteros que obtuvimos.

Ecuaciones de Primer Grado con Paréntesis.

Cuando tenemos ecuaciones de primer grado con paréntesis, debemos de en primera instancia eliminar el paréntesis, para esto debemos de considerar que es lo que operatoria hay delante del paréntesis.

1- Cuando tenemos un signo mas,el paréntesis se elimina sin provocar ningún cambio.

2. cuando tenemos un signo menos, al eliminar el paréntesis, el signo menos cambia los signos de todo lo que esta dentro del paréntesis.

4x - (2x + 3) = -4 + 3x

4x -2x -3 = -4 +3x

4x -2x -3x = -4 +3

-x = -1

x =1

3- si tenemos un numero y no hay signo, el numero multiplica todo lo que esta dentro del paréntesis.

4- Si tenemos mas de un paréntesis, eliminamos los paréntesis, desde el que esta mas adentro hasta el que esta mas afuera.

.

5- si tenemos un producto notable, resolvemos el producto notable y luego resolvemos la ecuación.

Actividad Practica: Resuelva las siguientes ecuaciones de primer grado con paréntesis.

Ecuaciones de Primer Grado con mas de una variable.

La ecuación de primer grado, aunque tenga mas de una variable desconocida, sigue siendo una igualdad, por lo que la representamos como una balanza. Motivo por el cual todo lo que hacemos en un lado de la igualdad, debe hacerse en el otro con el objetivo de dejar los valores desconocidos en un lado de la balanza y lo conocido en el otro lado, para así poder despejar y encontrar el valor de lo desconocido.

Importante: No puedo sumar ni restar valores numéricos con incógnitas. Por ejemplo 2p - 3 no es -1p ya que 2p es un valor desconocido y -3 es un valor numérico.Deben cambiar de lugar por separados en la igualdad.

Una ves comprendido esto podemos realizarlo de una forma mas fácil:

1- Si tenemos una ecuación con mas de una incógnita, debemos de dejar todas las incógnitas (con su coeficiente numérico, numero que lo acompaña) en un lado de la igualdad y todos los números que no tienen incógnitas en el otro lado de la igualdad.

2- Nunca olvidar: todo lo que cambie de un lado a otro de la igualdad, debe de cambiar de signo.

3- Luego de realizar este paso, debemos de reducir términos semejantes (no olvidar regla de signos, signos iguales se suman distintos se restan y siempre se conserva el signo del numero mayor) y despejar el valor de la incógnita.



Ejemplo:

Retomando nuestro ejemplo de la balanza

4x + 5 = x +8

Primero, dejaremos todas las x en el lado izquierdo, cambiando de signo a todas las x que estaban en el lado derecho.

4x + 5 - x = 8 ( la x que estaba en la derecha era positiva, paso al otro lado negativo)

Segundo, pasaremos los valores numéricos al lado derecho, cambiando de signo todos los que están en el lado izquierdo

4x- x = 8 - 5 (el cinco era positivo, paso al otro lado siendo negativo)

tercero, reduciremos términos semejante

(al restar 4x menos 1 x, nos da 3x)              =   (Al restar 8 menos 5,nos da 3)
                    3x                                           =                             3

Finalmente, despejamos la incógnita

3x=3
x= 3:3
x=1


Actividad Practica: Resuelva las siguientes ecuaciones de primer grado con mas de una incógnita

1.    5j - 9 = 3j + 5

2.    2k + 7 = 12 - 3k

3.    10 - 4x = 7 - 6x

4.    5a + 6 = 10a + 5

5.    8x - 4 + 3x = 8x + 14

6.    5f + 20 = 10f + 2

7.    5x = 8x+15

8.    11 + 8k = 10k – 3

9.    2r-4+6r =5r-5+7r

10. 6y-8y+3-5y=6y-7y+4

Ecuaciones de Primer Grado con una variable.

Las ecuaciones de primer grado con una incógnita o variable son todas aquellas que siguen la forma:

ax + b = 0

Donde x es la variable, a y b son números reales y a es diferente de cero. Estas ecuaciones se identifican verificando que la variable no tenga exponente.

Como hallar la solución:

La solución de una ecuación de primer grado con una incógnita es siempre un solo valor de la variable y se obtiene al aplicar el inverso aditivo e inverso multiplicativo en ambos lados de la ecuación hasta que la incógnita quede despejada y en el otro lado de la igualdad el valor de la incógnita.

Esta es la forma correcta de resolver una ecuación, ya que la ecuación es una igualdad y siempre se deben aplicar operatorias en ambos lados de la igualdad para no perder la igualdad (se des balance la balanza). 

Sabiendo esto, permitiremos resolver la ecuación de una forma mas sencilla que llegara a la misma respuesta, pero matemáticamente hablando no es lo correcto. 

Esto se resolverá, despejando la incógnita al pasar todo lo que rodea a la incógnita hacia el otro lado de la igualdad con la operatoria contraria de la siguiente forma: 

1)La suma pasa a resta

x + 2 = 3      (el dos esta sumando, pasa restando al otro lado)
x= 3 - 2        ( resolvernos la operación)
x= 1             (encontramos el valor de x)

2)La resta pasa a suma

x - 2 = 3      (el dos esta restando, pasa sumando al otro lado)
x= 3 + 2       ( resolvernos la operación)
x=  5            (encontramos el valor de x)

3)La multiplicación pasa a división

 2x = 3      (el dos esta multiplicando, pasa dividiendo al otro lado)
x= 3 : 2       ( resolvernos la operación, si da decimal ,la dejamos en fracción)
x=  3/2            (encontramos el valor de x)

3)La división pasa a multiplicación

 x / 2 = 3      (el dos esta dividiendo, pasa multiplicando al otro lado)
x= 3 * 2       ( resolvernos la operación)
x=  6            (encontramos el valor de x)

Retomemos nuestro ejemplo

2x + 2 = 8 ( el dos que esta sumando, pasa restando)
2x = 8-2 (resolvemos la operación)
2x= 6 ( el dos que acompaña a la x esta multiplicándola, pasa dividiendo)
x = 6: 2 (resolvemos la operación)
x=3 (encontramos el valor de la incógnita)

Importante:
Si tenemos mas operatorias como en el caso que vimos recién, se debe despejar la incógnita desde lo que esta mas lejano a ella, hasta lo que esta mas cerca.

ejemplo:

2x -3 = 7 * 4 (primero el numero que divide, pasa multiplicando)

2x – 3 = 28 (se resuelve la operación)

2x =28 +3 ( luego el numero que esta restando pasa sumando)

2x = 31 (se resuelve la operación)

X = 31 /2 (luego el numero que acompaña a la incógnita pasa dividiendo)

Actividad Practica: Resuelva las siguientes ecuaciones de primer grado con una variable

1)   6x = 2

2)   a + 1 = -18

3)   18b - 3 = 0

4)   5 - 2d = 9

5)   – 3c + 1 = 4

6)   - 2 - 5g = 0