Proporcionalidad
La proporcionalidad es una relación o razón constante entre diferentes magnitudes que se vayan a medir.
Razones: La razón es un
objeto matemático que utilizamos para comparar dos cantidades cualesquiera para
poder establecer una característica que las relacione, en particular ambas
cantidades las podemos comparar principalmente de dos formas; a través de su
diferencia (razón aritmética), y a través de su cociente (razón geométrica).
Razón
Aritmética: La razón aritmética es una forma de
comparar dos cantidades en las cuales consideramos cuanto excede una de la
otra, es decir, encontrando su diferencia. El primer término de una razón
aritmética se denomina antecedente, mientras que el segundo consecuente.
Ejemplo: Un padre quiere
repartir la mesada correspondiente a sus dos hijos, pero al fin del mes uno de
ellos se porto mal, por lo cual lo va a castigar dándole $6.000 menos que a su
hermano. Si dispone de $20.000 a repartir. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?
Solución:
Datos:
X=
cantidad que recibirá primer hijo
Y= el hijo
que se porto mal.
X+Y=20.000
Pero Y tendrá 6.000 menos que X, por lo que
Y=X-6.000.
Obteniendo:
X+(X-6000)=
20.000
2X-6000=20.000
2X=20.000+6000
X=26.000/2
X=13.000
Por lo
tanto:
X= recibe
13.000
Y=
13.000-6.000= 7.000
Razón
Geométrica: Cada
vez que se habla de razón en realidad se quiere hacer referencia a una razón
geométrica. La razón geométrica entre dos cantidades a y b es la comparación
por cuociente entre ambas, es decir, la división entre ellas. Al igual
que la razón aritmética el primer término se denomina antecedente y el segundo consecuente.
Ejemplo : Al
siguiente mes, el mismo padre del ejemplo anterior tiene el mismo problema, uno
de sus hijos se ha portado mal, por lo que quiere darle menos mesada que a su
hermano, pero esta vez quiere que cada $3 del hermano que se porto bien, el
otro reciba solo $2, es decir quiere repartir el dinero a razón de 3 es a 2. Si
dispone nuevamente de $20.000, ¿Cuánto dinero le corresponderá a cada uno?.
Solución:
Datos:
X= hijo que se
porta bien
Y= hijo que se
porta mal
Para este
tipo de problemas te recomendamos utilizar el siguiente método; el entero que
se va a repartir (en este caso $20.000), divídelo en el total de partes más
conveniente para repartirse, la cual siempre resulta ser la suma entre el
antecedente y el consecuente de la razón geométrica, es decir, en este caso
debes dividir $20.000 en 5 partes iguales, ya que 3+2 = 5, y luego 3 de esas partes le
corresponderán al antecedente (hijo que se portó bien), y las otras 2 al
consecuente (hijo que se portó mal). Observa el siguiente diagrama:
X= 3*4.000= 12.000
Y=2*4.000= 8.000
Proporciones: Una proporción es
una igualdad entre dos razones equivalentes.
-
Dos razones aritméticas son equivalentes
si la diferencia entre sus antecedentes y consecuentes son respectivamente
iguales.
-
Dos razones geométricas son equivalentes
si el cuociente entre sus antecedentes y consecuentes son respectivamente
iguales
Proporción Aritmética: Es la
igualación de dos razones aritméticas equivalentes. A la diferencia entre las
razones involucradas se la llama constante de proporcionalidad aritmética.
Proporción Geométrica: Una
proporción geométrica, es la igualación de dos razones geométricas
equivalentes. En una proporción podemos distinguir sus partes por distintos
nombres, están los extremos, que son el antecedente de la primera razón y el
consecuente de la segunda, y los medios, que son el consecuente de la primera
razón y el antecedente de la segunda.
Otra
forma, además de la equivalencia entre razones, de comprobar si una proporción
realmente lo es, es verificar que el producto entre los extremos sea igual al
producto entre los medios es decir:
a : b = c
: d → a *d = b * c
Ejemplos:
3 : 2 = 9
: 6 es una proporción, pues 3 * 6 = 2 * 9
4 : 3 = 5
: 2 NO es una proporción, pues 4 * 2 6= 3 * 5
Proporcionalidad Directa: Hasta
ahora solo hemos trabajado con este tipo de proporcionalidades, ya que dos
magnitudes son directamente proporcionales si multiplicando o dividiendo una de
ellas por un número la otra queda multiplicada o dividida por el mismo número,
que es precisamente el caso de las proporciones que hemos visto. También
decimos que dos cantidades a y b son directamente proporcionales si su
cuociente es constante, es decir:
Ejemplo:
Si para comprar dos kilogramos de pan necesitas $1.300, ¿Cuánto dinero
necesitas para comprar 5 kilogramos de pan?
Respuesta:
Nos podemos dar cuenta que el ejemplo es sobre una proporcionalidad directa ya
que si aumenta la cantidad de kilogramos de pan, entonces aumenta el dinero.
Por lo tanto se debe cumplir que:
Y así
puedes verificar que para cualquier cantidad de kilos de pan con el dinero que
necesites para comprarlo tendrán un cuociente constante. En este caso ese
cuociente (k) es igual a 1;300 : 2 = 650.
Proporcionalidad Inversa: Dos
cantidades tienen proporcionalidad inversa si al multiplicar una de ellas por
un número la otra queda dividida por ese mismo número y viceversa. También
decimos que dos magnitudes a y b son inversamente proporcionales si su producto
es constante, es decir:
a*b =k con
k contante
Ejemplo: 2
trabajadores se demoran 24 horas en pintar una casa, ¿Cuánto se demorarán 6
trabajadores? Respuesta: Nos podemos dar cuenta que el ejemplo es sobre una
proporcionalidad inversa debido a que si aumenta una de las magnitudes la otra
disminuye (si hay más trabajadores se demoran menos tiempo), por lo tanto se
debe cumplir que:
Proporcionalidad Compuesta: Hasta
ahora solo hemos visto casos con dos variables, sin embargo puede pasar que las
variables en juego para una proporción sean más de dos, lo que provoca que la
forma de analizar el problema sea un poco más complicada.
Ejemplo :
Si 10 vacas comen 30 kilos de pasto en 20 días, ¿Cuántos kilos de pasto
comerían 15 vacas en 10 días?.
Respuesta:
Como puedes ver las variables en juego son ahora tres, el número de vacas, la
cantidad de kilos de pasto y el número de días. Para comenzar es bueno
esquematizar el problema como
Sigue:
Iguala una
de las columnas (queremos igualar el número de días, o aumentamos al doble las
vacas, o aumentamos al doble los kilos de pasto, ya que si 15 vacas comen X
kilos en 10 días, entonces 15 vacas comerían 2 * X kilos en 20 días), luego la
proporción la podemos cambiar por:
Cuando
tenemos una columna igualada ese valor pasa a ser un dato más del problema, ya
que no existe diferencia entre una situación y la otra. Entonces ahora la
pregunta es: ¿si 10 vacas comen 30 kilos de pasto, ¿Cuantos kilos de pasto
comerán 15 vacas?
Simplemente
eliminamos la columna que coincidía. Y nos queda una proporción de dos
magnitudes, que es directamente proporcional (mientras más vacas, más pasto
comen), y que ya sabemos resolver.
Porcentaje:
Cuando hablamos de porcentaje, no nos referimos a otra cosa que a una razón,
pero una muy especial, es una razón cuyo consecuente es 100, es decir x% =
x=100, por lo tanto el tratamiento que se haga con un porcentaje es el mismo
que con una razón. Cuando queremos buscar el tanto por ciento de una cantidad
solo debemos formar la proporción geométrica y directa entre la cantidad y la
incógnita versus el porcentaje. Así se tiene:
El a% de b
lo obtenemos resolviendo la siguiente proporción:
Por lo tanto tenemos que siempre el
a% de b es: 
Ejemplo:
El 30% de
60 se obtiene de la forma:
Por lo tanto, el 30% de 60 es 18.
Porcentaje
de una Cantidad: Cuando queremos determinar el porcentaje que una
cantidad A es de otra B, debemos considerar una proporción donde el antecedente
de la primera razón sea A y el consecuente B, y en la segunda razón el
antecedente es la incógnita mientras que el consecuente es 100. Por ejemplo:
Si queremos conocer qué
porcentaje es 36 de 40. Entonces debemos decir 36 es a 40 como x es a 100, ésto
escrito matemáticamente se ve como:
Resolviendo como ya
sabemos hacerlo:
Actividad Practica
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